「Violet」蒲公英-分块

给定一个数列${a_n}$,$m$次询问在$[l,r]$区间内的最小众数。
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Luogu P4168

题解

为了在课上讲分块,特地做了一道大分块的题。

做法一:
预处理出$z[i][j]$,表示在$[i,j]$个块的区间中的众数;$cnt[i][c]$,表示在前i个数中颜色为c的数的个数。

可以证明,一个区间的众数,肯定在整块的众数和零散块中出现的数中。

每次查询,先将答案设成整块的众数。对于零散的数,暴力统计出在零散块中出现的次数,然后加上在整块出现的次数(前缀和相减),尝试更新答案。

可以证明,复杂度大约是$O(n \sqrt{n} )$。


做法二:
预处理出$z[i][j]$,表示在$[i,j]$个块的区间中的众数;对于每一种颜色,开一个vector把这个数每次出现的位置,按从前到后顺序加进去。这样,我们可以在$O(\log{n})$的时间内通过二分查询出一个数在[l,r]区间出现了多少次。

可以证明,一个区间的众数,肯定在整块的众数和零散块中出现的数中。

每次查询,先将答案设成整块的众数,并且记录其在$[l,r]$出现次数,然后对于每一个零散块中的数,查询其在[l,r]中出现的次数,并尝试更新答案。

可以证明,复杂度大约是$O(n \sqrt {n} \log{n})$。这个复杂度存在被卡死的可能。


由于数据范围很大,需要离散化并且记录离散化后的数对应之前的数是什么。

代码

做法一:

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

//快读模版
namespace fast_io {
inline char read() {...}
inline void read(int &x) {...}
inline void read(char *a){...}
const int OUT_LEN = 1000000;
char obuf[OUT_LEN], *ooh = obuf;
inline void print(char c) {...}
inline void print(int x) {...}
inline void print(char *a){...}
inline void flush() {...}
}using namespace fast_io;

const int MAXN = 101000,MAXQ = 1000;

struct pu{
int col,id,belong;
}pgy[MAXN];

int n,m,Q;
int bl[MAXQ],br[MAXQ],id_to[MAXN],numc = 0;
int z[MAXQ][MAXQ],cnt[MAXN][MAXQ],t[MAXN];

bool cmp1(pu a,pu b){return a.col < b.col;}
bool cmp2(pu a,pu b){return a.id < b.id;}

void init(){
read(n),read(m);Q = sqrt(n);
for(int i = 1;i<=n;i++){
read(pgy[i].col);
pgy[i].id = i,pgy[i].belong = (i-1)/Q+1;

if(!bl[pgy[i].belong])
bl[pgy[i].belong] = i;
br[pgy[i].belong] = i;
}
sort(pgy+1,pgy+n+1,cmp1);
int lastc = 0;
for(int i = 1;i<=n;i++){
if(pgy[i].col!=lastc)
numc++,id_to[numc] = pgy[i].col;
lastc = pgy[i].col;
pgy[i].col = numc;
}
sort(pgy+1,pgy+n+1,cmp2);

for(int i = 1;i<=n;i++)
cnt[pgy[i].col][pgy[i].belong]++;
for(int i = 1;i<=numc;i++)
for(int j = 1;j<=n/Q;j++)
cnt[i][j] += cnt[i][j-1];
}

void build(){
for(int i = 1;i<=n;i+=Q){
memset(t,0,sizeof(t));
int maxn = 0;
for(int j = i;j<=n;j++){
int nowc = pgy[j].col;
t[nowc]++;
if(t[nowc] > t[maxn] ||(t[nowc] == t[maxn] && nowc < maxn))
maxn = nowc;
if(j%Q == 0)
z[(i-1)/Q+1][j/Q] = maxn;
}
}
}



int answer(int ql,int qr){
int lb = pgy[ql].belong,rb = pgy[qr].belong,maxn = 0;
//printf("lblock:%d rblock:%d\n",lb,rb);
if(lb == rb || lb+1 == rb){
for(int i = ql;i<=qr;i++)
t[pgy[i].col] = 0;
for(int i = ql;i<=qr;i++){
int nowc = pgy[i].col;
t[nowc]++;
if(t[nowc] > t[maxn] ||(t[nowc] == t[maxn] && nowc < maxn))
maxn = nowc;
}
}
else{
for(int i = ql;i<bl[lb+1];i++)
t[pgy[i].col] = 0;
for(int i = br[rb-1]+1;i<=qr;i++)
t[pgy[i].col] = 0;
maxn = z[lb+1][rb-1];
t[maxn] = 0;
for(int i = ql;i<bl[lb+1];i++){
int nowc = pgy[i].col;
t[nowc]++;
int maxnum = t[maxn] + cnt[maxn][rb-1]-cnt[maxn][lb];
int tmp = t[nowc] + cnt[nowc][rb-1]-cnt[nowc][lb];
if(tmp > maxnum || (tmp == maxnum && nowc < maxn))
maxn = nowc;
}
for(int i = br[rb-1]+1;i<=qr;i++){
int nowc = pgy[i].col;
t[nowc]++;
int maxnum = t[maxn] + cnt[maxn][rb-1]-cnt[maxn][lb];
int tmp = t[nowc] + cnt[nowc][rb-1]-cnt[nowc][lb];
if(tmp > maxnum || (tmp == maxnum && nowc < maxn))
maxn = nowc;
}
}
return id_to[maxn];
}


void solve(){
int a,b,lastans = 0;
for(int i = 1;i<=m;i++){
read(a),read(b);
a = (a+lastans-1)%n+1,b = (b+lastans-1)%n+1;
if(a > b) swap(a,b);
lastans = answer(a,b);
print(lastans),print('\n');
}
}

int main(){
init();
build();
solve();
flush();
return 0;
}

做法二:

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

//快读模版
namespace fast_io {
inline char read() {...}
inline void read(int &x) {...}
inline void read(char *a){...}
const int OUT_LEN = 1000000;
char obuf[OUT_LEN], *ooh = obuf;
inline void print(char c) {...}
inline void print(int x) {...}
inline void print(char *a){...}
inline void flush() {...}
}using namespace fast_io;

const int MAXN = 101000,MAXQ = 1000;

vector<int> pos[MAXN];

int n,m,Q;

struct pu{
int col,id;
}pgy[MAXN];

//在[i,j]块中的众数
int z[MAXQ][MAXQ];

int id_to[MAXN];

bool cmp1(pu a,pu b){
return a.col < b.col;
}

bool cmp2(pu a,pu b){
return a.id < b.id;
}

void init(){
read(n),read(m);Q = sqrt(n*5);
for(int i = 1;i<=n;i++)
read(pgy[i].col),pgy[i].id = i;
sort(pgy+1,pgy+n+1,cmp1);
int lastc = 0,numc = 0;
for(int i = 1;i<=n;i++){
if(pgy[i].col!=lastc)
numc++,id_to[numc] = pgy[i].col;
lastc = pgy[i].col;
pgy[i].col = numc;
}
sort(pgy+1,pgy+n+1,cmp2);
for(int i = 1;i<=n;i++){
pos[pgy[i].col].push_back(i);
}
}

void build(){
static int t[MAXN];
for(int i = 1;i<=n;i+=Q){
memset(t,0,sizeof(t));
int maxn = 0;
for(int j = i;j<=n;j++){
int nowc = pgy[j].col;
t[nowc]++;
if(t[nowc] > t[maxn] ||(t[nowc] == t[maxn] && nowc < maxn))
maxn = nowc;
if(j%Q == 0)
z[(i-1)/Q+1][j/Q] = maxn;
}
}
}


int count_num(int lb,int rb,int num){
return lower_bound(pos[num].begin(),pos[num].end(),rb+1)-lower_bound(pos[num].begin(),pos[num].end(),lb);
}

int answer(int ql,int qr){
int lb = floor(double(ql-2)/Q)+2,rb = qr/Q,maxn = 0,maxnum = 0;
if(lb <= rb) maxn = z[lb][rb],maxnum = count_num(ql,qr,maxn);
//printf("lblock:%d rblock:%d\n",lb,rb);
lb = (lb-1)*Q+1,rb = rb*Q;
//printf("lbound:%d rbound:%d maxn:%d\n",lb,rb,maxn);
while(ql < lb){
--lb;
int c = pgy[lb].col,w = count_num(ql,qr,c);
if(w > maxnum || (w == maxnum && c < maxn))
maxn = c,maxnum = w;
}
while(rb < qr){
rb++;
int c = pgy[rb].col,w = count_num(ql,qr,c);
if(w > maxnum || (w == maxnum && c < maxn))
maxn = c,maxnum = w;
}
return id_to[maxn];
}


void solve(){
int a,b,lastans = 0;
for(int i = 1;i<=m;i++){
read(a),read(b);
a = (a+lastans-1)%n+1,b = (b+lastans-1)%n+1;
if(a > b) swap(a,b);
lastans = answer(a,b);
print(lastans),print('\n');
}
}

int main(){
init();
build();
solve();
flush();
return 0;
}