「LNOI2014」LCA-树链剖分-差分

给出一个$n$个节点的有根树。有$q$次询问,每次询问给出$l,r,z$,求$\sum_{l \leq i \leq r}dep[LCA(i,z)]$。

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Luogu P4211

题解

神仙题…真是不知道考场上有没有人能够想到。

给出这样一个结论:

节点$x$和$y$的$lca$到根节点的距离等于在$x$到根节点的路径上且$y$到根节点的路径上的节点个数。

所以如果我们将$[l,r]$中的点到根节点的路径上所有的节点的值分别加$1$,这个时候$z$到根节点的路径上的权值和就是查询$(l,r,z)$的答案。


而且我们注意到这个问题满足区间可减性:

即设$sum(l,r) = \sum_{l\leq i\leq r}{dep[LCA(i,z)]}$,有$sum(l,r) = sum(1,r)-sum(1,l-1)$。

因此,我们将询问$(l,r,z)$分离成$(l-1,z)$和$(r,z)$。

我们用$(t_i,pos_i)$代表询问。按照$t_i$为第一关键字进行排序离线之后查询。每次查询的时候,使得$1~t_i$的所有节点都已经把往根节点的路径上都做了修改,那么我们只需要查询一个$(1,pos_i)$的路径上的节点的权值和即可。

这个东西如果用树链剖分+线段树,复杂度是$O(n \log^{2}{n})$,如果用LCT,复杂度是$O(n\log n)$。

其实我感觉这道题完全可以出到$200000$,然后给$O(n \log^{2}{n})$五六十分部分分。

代码

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#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cctype>
using namespace std;

namespace fast_io {
//...
}using namespace fast_io;

const int MAXN = 210000,mod = 201314;

int n,m;

vector<int> edge[MAXN];
int dep[MAXN],son[MAXN],top[MAXN],siz[MAXN],fa[MAXN],id[MAXN],cnt = 0;

void dfs1(int nown,int f,int depth){
siz[nown] = 1;dep[nown] = depth;
fa[nown] = f;
for(int i = 0;i<edge[nown].size();i++){
int v = edge[nown][i];
if(v == f) continue;
dfs1(v,nown,depth+1);
siz[nown] += siz[v];
if(siz[v] > siz[son[nown]]) son[nown] = v;
}
}

void dfs2(int nown,int topf){
top[nown] = topf;
id[nown] = ++cnt;
if(!son[nown]) return;
dfs2(son[nown],topf);
for(int i = 0;i<edge[nown].size();i++){
int v = edge[nown][i];
if(v == fa[nown] || v == son[nown])
continue;
dfs2(v,v);
}
}

namespace SegTree{
int sumn[MAXN],addn[MAXN];
#define lson (nown<<1)
#define rson ((nown<<1)|1)
#define mid ((l+r)>>1)
void push_up(int nown){
sumn[nown] = sumn[lson] + sumn[rson];
sumn[nown] %= mod;
}
void add(int nown,int l,int r,int d){
sumn[nown] += d*(r-l+1);
addn[nown] += d;
sumn[nown] %= mod,addn[nown] %= mod;
}
void push_down(int nown,int l,int r){
if(addn[nown]){
add(lson,l,mid,addn[nown]);
add(rson,mid+1,r,addn[nown]);
addn[nown] = 0;
}
}
void add(int nown,int l,int r,int ql,int qr,int d){
if(ql <= l && r <= qr){
add(nown,l,r,d);
}
else{
push_down(nown,l,r);
if(ql <= mid) add(lson,l,mid,ql,qr,d);
if(mid+1 <= qr) add(rson,mid+1,r,ql,qr,d);
push_up(nown);
}
}
int query(int nown,int l,int r,int ql,int qr){
if(ql <= l && r <= qr)
return sumn[nown];
else{
push_down(nown,l,r);
int ans = 0;
if(ql <= mid) ans += query(lson,l,mid,ql,qr);
if(mid + 1 <= qr) ans += query(rson,mid+1,r,ql,qr);
ans %= mod;
return ans;
}
}
void build(int nown,int l,int r){
;
}
}

struct Q{
int ti,pos,id;
Q(int t,int p,int i):ti(t),pos(p),id(i){;}
bool operator<(Q a) const{
return ti < a.ti;
}
};

vector<Q> q;

int ans[MAXN<<2],qa[MAXN][2];

void init(){
read(n),read(m);
int a,b,c;
for(int i = 2;i<=n;i++){
read(a);
edge[i].push_back(a+1);
edge[a+1].push_back(i);
}
int tot;
for(int i = 1;i<=m;i++){
read(a),read(b),read(c);
q.push_back(Q(a,c+1,++tot));
qa[i][0] = tot;
q.push_back(Q(b+1,c+1,++tot));
qa[i][1] = tot;
}
}

void w_add(int u,int v,int d = 1){
while(top[u]!=top[v]){
if(dep[top[u]] < dep[top[v]]) swap(u,v);
SegTree::add(1,1,n,id[top[u]],id[u],d);
u = fa[top[u]];
}
if(dep[u] > dep[v]) swap(u,v);
SegTree::add(1,1,n,id[u],id[v],d);
}

int w_query(int u,int v){
int ans = 0;
while(top[u] != top[v]){
if(dep[top[u]] < dep[top[v]]) swap(u,v);
ans += SegTree::query(1,1,n,id[top[u]],id[u]);
u = fa[top[u]]; ans %= mod;
}
if(dep[u] > dep[v]) swap(u,v);
ans += SegTree::query(1,1,n,id[u],id[v]);
ans %= mod;
return ans;
}

void solve(){
sort(q.begin(),q.end());
dfs1(1,0,1);
dfs2(1,1);
int nowt = 0;
for(int i = 0;i < q.size();i++){
while(q[i].ti > nowt) w_add(1,++nowt);
ans[q[i].id] = w_query(1,q[i].pos);
}
for(int i = 1;i<=m;i++)
print((ans[qa[i][1]]-ans[qa[i][0]]+mod+mod+mod)%mod),print('\n');
}

int main(){
init();
solve();
flush();
return 0;
}