「HNOI2008」GT考试-KMP+dp+矩阵快速幂

阿申准备报名参加 $GT$ 考试,准考证号为 $n$ 位数 $X_1X_2\cdots X_n(0\le X_i\le 9)$,他不希望准考证号上出现不吉利的数字。

他的不吉利数字 $A_1A_2\cdots A_m(0\le A_i\le 9)$ 有 $m$ 位,不出现是指 $X_1X_2\cdots X_n$ 中没有恰好一段等于 $A_1A_2\cdots A_m$,$A_1$​ 和 $X_1$ 可以为 $0$。

阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种,输出模 $K$ 取余的结果。

链接

Luogu P3193

题解

显然dp

令 $dp[i][j]$ 为准考证已经匹配了 $i$ 位,不吉利数字(模版)最长可以匹配了$j$位的方案数。

下一位有$10$种情况,在$nex$数组上分别转移即可。

注意到$n$的大小比较大,$m$的大小比较小,可以用矩阵快速幂化掉第一维。

时间复杂度:$O(m^3 \times \log{n})$

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#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAXM = 30;

int n,m,k;
char s[MAXM];
int nex[MAXM];


struct Matrix{
int a[MAXM][MAXM];
Matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
};

Matrix mul(Matrix &_a,Matrix &_b){
Matrix ans;
for(int i = 0;i<=m;i++){
for(int j = 0;j<=m;j++){
for(int k = 0;k<=m;k++){
ans.a[i][j] += _a.a[i][k] * _b.a[k][j];
}
if(ans.a[i][j] >= k) ans.a[i][j] %= k;
}
}
return ans;
}

Matrix pow(Matrix x,int k){
Matrix ans;
for(int i = 0;i<=m;i++) ans.a[i][i] = 1;
for(int i = k;i;i>>=1,x = mul(x,x)) if(i & 1) ans = mul(ans,x);
return ans;
}

void init(){
scanf("%d %d %d",&n,&m,&k);
scanf("%s",s);
}

//dp[i][j]表示已经匹配了i位,模版已经匹配了j位

void get_next(){
nex[0] = 0;
int j = 0;
for(int i = 1;i<m;i++){
while(j > 0 && s[i] != s[j])
j = nex[j-1];
if(s[i] == s[j]) j++;
nex[i] = j;
}
}


void solve(){
get_next();
Matrix tmp;
for(int i = 0;i<m;i++){
int t = i;
for(int w = '0';w<='9';w++){
t = i;
while(t > 0 && s[t] != w)
t = nex[t-1];
if(s[t] == w) t++;
tmp.a[t][i]++;
}
}
tmp = pow(tmp,n);
int ans = 0;
for(int i = 0;i<m;i++){
ans += tmp.a[i][0];
}
ans %= k;
printf("%d\n",ans);
}

int main(){
init();
solve();
return 0;
}