「POI2010」Antisymmetry-后缀数组

对于一个 $0/1$ 字符串,如果将这个字符串 $0$ 和 $1$ 取反后,再将整个串反过来和原串一样,就称作“反对称”字符串。比如 $00001111$ 和 $010101$ 就是反对称的, $1001$ 就不是。

现在给出一个长度为 $n$ 的 $0/1$ 字符串,求它有多少个子串是反对称的。

链接

LOJ 2452

Luogu P3501

题解

本题是胡搞过去的…正解好像是回文自动机…后缀数复杂度多一个$\log$…然后就被卡的死死的emmm最后$LOJ$ 1000ms极限操作233

注意到…一个串如果想是反对称的,首先要是偶数长度。而且从中间劈开往两边看每个对应位置都相反。

所以我们可以把这个串+分隔符+这个串的反向&取反搞一个后缀数组出来,然后枚举中间点,在前后串对应位置取LCP就是可能的大小,然后求和即可。

如果后缀数组和ST表的初始化复杂度是$O(n \log n)$,最后$n$次查询每次复杂度都是$O(n)$。

时间复杂度是$O(n \log {n})$,比正解多一个$log$勉强卡过233

代码

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// Code By Chen Qiqian on 2018.08.10
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

inline int min(int a,int b){return a>b?b:a;}

int n,m;
const int MAXN = 1000100,logn = 20;

namespace SA{
int s[MAXN],sa[MAXN],rk[MAXN],x[MAXN],y[MAXN],ht[MAXN];
int cnt[MAXN];
void get_SA(int n,int m){
for(int i = 0;i<m;i++) cnt[i] = 0;
for(int i = 0;i<n;i++) cnt[s[i]]++;
for(int i = 1;i<m;i++) cnt[i] += cnt[i-1];
for(int i = n-1;~i;--i) sa[--cnt[s[i]]] = i;
m = rk[sa[0]] = 0;
for(int i = 1;i<n;i++) rk[sa[i]] = (s[sa[i]]!=s[sa[i-1]])?++m:m;
for(int j = 1;;j<<=1){
if(++m == n) break;
for(int i = 0;i<j;i++) y[i] = n-j+i;
for(int i = 0,k = j;i<n;i++) if(sa[i]>=j) y[k++] = sa[i]-j;
for(int i = 0;i<n;i++) x[i] = rk[y[i]];
for(int i = 0;i<m;i++) cnt[i] = 0;
for(int i = 0;i<n;i++) cnt[x[i]]++;
for(int i = 1;i<m;i++) cnt[i] += cnt[i-1];
for(int i = n-1;~i;--i) sa[--cnt[x[i]]] = y[i],y[i] = rk[i];
m = rk[sa[0]] = 0;
for(int i = 1;i<n;i++) rk[sa[i]] = (y[sa[i]]!=y[sa[i-1]] || y[sa[i]+j]!=y[sa[i-1]+j])?++m:m;
}
}
void getheight(int n){
for(int i = 0, h = ht[0] = 0;i<n;i++){
int j = sa[rk[i]-1];
while(i+h<n&&j+h<n&&s[i+h]==s[j+h]) h++;
if(ht[rk[i]] = h) --h;
}
}
void build(int n){
++n;
get_SA(n,4);
getheight(n);
}
}
int _log[MAXN];

namespace ST{
int minn[MAXN][logn];
void build(int n,int *num){
for(int i = 1;i<=n;i++)
_log[i] = _log[i-1] + ((i==(1<<(_log[i-1]+1)))?1:0);
int l = _log[n];
for(int i = 0;i<=n;i++) minn[i][0] = num[i];
for(int j = 1;j<=l;j++){
for(int i = 0;i+(1<<(j-1))<=n;i++){
minn[i][j] = min(minn[i][j-1],minn[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
}
int query(int l,int r){
int t = _log[r-l+1];
return min(minn[l][t],minn[r-(1<<t)+1][t]);
}
}

int lcp(int x,int y){
if(x == y) return n-x+1;
x = SA::rk[x],y = SA::rk[y];
if(x > y) swap(x,y);
return ST::query(x+1,y);
}

char s[MAXN];

void init(){
scanf("%d\n",&m);
fread(s,MAXN,1,stdin);
for(int i = 0;i<m;i++) SA::s[n++] = s[i] - ('0'-1);
reverse(s,s+n);
SA::s[n++] = 3;
for(int i = 0;i<m;i++) SA::s[n++] = (s[i]^1) - ('0'-1);
SA::s[n] = 0;
SA::build(n);
ST::build(n+1,SA::ht);
}

void solve(){
long long ans = 0;
for(int i = 0;i<m;i++){
ans += lcp(i+1,n-i-1);
}
printf("%lld\n",ans);
}

int main(){
init();
solve();
return 0;
}