「HNOI2011」XOR和路径-高斯消元

给定一个无向连通图,其节点编号为 $1$ 到 $N$,其边的权值为非负整数。试求出一条从 $1$ 号节点到 $N$ 号节点的路径,使得该路径上经过的边的权值的 “ $\text{XOR}$ 和” 最大。该路径可以重复经过某些节点或边,当一条边在路径中出现多次时,其权值在计算 “$\text{XOR}$ 和” 时也要被重复计算相应多的次数。

直接求解上述问题比较困难,于是你决定使用非完美算法。具体来说,从 $1$ 号节点开始,以相等的概率,随机选择与当前节点相关联的某条边,并沿这条边走到下一个节点,重复这个过程,直到走到 $N$ 号节点为止,便得到一条从 $1$ 号节点到 $N$ 号节点的路径。显然得到每条这样的路径的概率是不同的,并且每条这样的路径的 “ $\text{XOR}$ 和” 也不一样。现在请你求出该算法得到的路径的 “ $\text{XOR}$ 和” 的期望值。

链接

Luogu P3211

题解

注意到每位独立,所以我们可以考虑分别考虑每位再进行相加。

具体来说,如果我们用 $P[i]$ 表示在 $i$ 号节点时,到达 $N$ 号节点时该位为 $1$ 的概率,那么我们有如下转移:

$$
P[i] =
\left\{
\begin{aligned}{}
&\sum_{\text{i,j have a edge}} \frac{P[j]}{d[i]}&,i \neq N\\
&1&,i = N
\end{aligned}
\right.
$$

其中 $d[i]$ 为 $i$ 节点度数。

高斯消元即可。

代码

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#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const double eps = 1e-7;
const int MAXN = 110,MAXM = 11000;

struct Edge{
int to,len;
int nex;
}edge[MAXM*2];int ecnt = 2;
int fir[MAXN];

void addedge(int u,int v,int c){
edge[ecnt] = (Edge){v,c,fir[u]};
fir[u] = ecnt++;
}

int n,m;
double de[MAXN];

void init(){
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i = 1;i<=m;i++){
int u,v,c;
scanf("%d %d %d",&u,&v,&c);
addedge(u,v,c);de[u]++;
if(u!=v){
addedge(v,u,c);de[v]++;
}
}
}

bool gauss(double a[MAXN][MAXN],int n){
for(int i = 1;i<=n;i++){
int r = i;
for(int j = i+1;j<=n;j++){
if(fabs(a[j][i]) > fabs(a[r][i]))
r = j;
}
if(r != i){
for(int j = 1;j<=n+1;j++)
swap(a[i][j],a[r][j]);
}
if(fabs(a[i][i]) < eps) return 0;
for(int j = 1;j<=n;j++)if(j!=i){
double t = a[j][i]/a[i][i];
for(int k = 1;k<=n+1;k++){
a[j][k] -= a[i][k] * t;
}
}
}
for(int i = 1;i<=n;i++)
a[i][n+1]/=a[i][i],a[i][i] = 1;
return 1;
}

double ju[MAXN][MAXN];
int num[MAXN];


void solve(){
double ans = 0;
for(int i = 0;i<30;i++){
// printf("i:%d\n",i);
memset(ju,0,sizeof(ju));
for(int nown = 1;nown<=n;nown++){
int cnt = 0;
ju[nown][nown] = 1;
for(int nowe = fir[nown];nowe;nowe = edge[nowe].nex){
int v = edge[nowe].to,l = edge[nowe].len;
if((l & (1<<i)) == 0)
ju[nown][v] += -1/de[nown];
else
ju[nown][v] += 1/de[nown],cnt++;
}
ju[nown][n+1] = cnt/de[nown];
}
for(int i = 1;i<=n;i++) ju[n][i] = 0;
ju[n][n] = 1,ju[n][n+1] = 0;
gauss(ju,n);
ans += ju[1][n+1] * pow(2,i);
// printf("--------------------\n");
}
printf("%.3lf\n",ans);
}

int main(){
init();
solve();
return 0;
}