「SCOI2007」排列-状压dp

给一个数字串 $s$ 和正整数 $d$ , 统计 $s$ 有多少种不同的排列能被 $d$ 整除(可以有前导 $0$)。

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Luogu P4163

题解

简单状压dp。

我们先考虑每个数字都不同的情况,然后在除掉每个数字出现次数的阶乘即可。

我们令 $s$ 的长度为 $n$,设状态 $dp[S][r]$ 为目前选了集合 $S$ ,模 $d$ 余数为 $r$ 的情况数,有如下转移方程:

$$
dp[S][r] = \sum dp[S | 2^i][r*10 + s[i]],\text{if } S \& 2^i = 0
$$

边界情况就是 $dp[2^{n+1}-1][0] = 1$ 其余均为 $0$。

$\text{dfs}$ 即可,时间复杂度为 $O(n2^n \times d)$,事实上跑不满…

代码

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#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAXN = 11;

char str[MAXN];int n,d;
int dp[1<<MAXN][1001];

void init(){
scanf("%s",str);
n = strlen(str);
scanf("%d",&d);
memset(dp,-1,sizeof(dp));
// printf("str:%s d:%d\n",str,d);
}


int dfs(int now,int r){
if(now == (1<<n)-1) return r == 0;
if(dp[now][r] != -1) return dp[now][r];
int ans = 0;
for(int i = 0;i<n;i++){
if((now & (1<<i)) == 0){
ans += dfs(now|(1<<i),(r*10+(str[i]-48))%d);
}
}
return dp[now][r] = ans;
}

void solve(){
dfs(0,0);
int t[MAXN],power[MAXN];
for(int i = 0;i<=9;i++) t[i] = 0;
for(int i = 0;i<n;i++) t[int(str[i]-48)]++;
power[0] = 1;
for(int i = 1;i<=n;i++) power[i] = power[i-1] * i;
int ans = dp[0][0];
for(int i = 0;i<=9;i++) ans /= power[t[i]];
printf("%d\n",ans);
}


int main(){
int T;
scanf("%d",&T);
for(int i = 1;i<=T;i++){
init();
solve();
}
return 0;
}