「ZJOI2008」骑士-基环树+dp

每个骑士都有且仅有一个自己最厌恶的骑士(当然不是他自己),他是绝对不会与自己最厌恶的人一同出征的。

请你从所有的骑士中选出一个骑士军团,使得军团内没有矛盾的两人(不存在一个骑士与他最痛恨的人一同被选入骑士军团的情况),并且使得这支骑士军团最具有战斗力。

为了描述战斗力,我们将骑士按照 $1$ 至 $n$ 编号,给每名骑士一个战斗力的估计,一个军团的战斗力为所有骑士的战斗力总和。

链接

LuoguP2607

题解

先考虑一个 $n$ 条边、 $n$ 个点的无向连通图的情况。这个环中只有一个环,我们在任意位置断掉这个环(并查集),让这个图成为一个树,记两端点为 $X$,$Y$。

注意到由于 $X$ 和 $Y$ 不能同时取得,如果我们分别以 $X$ 和 $Y$ 作为树根进行一次树形 dp ,那么我们的答案肯定在第一次的 $dp[X][0]$ 和第二次的 $dp[Y][0]$ 中的某一个,因为不可能两个都选,我们令一个不选之后,剩下的就只剩下树的限制,我们也一定能够达成最大的情况。

不是特别好理解,但好好理一下也不是特别难吧。

这里没有保证联通,但对于任意一个联通块由于其特殊的建图方式,导致也均为基环树或树。

时间复杂度: $O(n)$.

代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

const int MAXN = 1e6+10;

struct Edge{
int to,nex;
}edge[MAXN*2];
int fir[MAXN],ecnt = 2;
void addedge(int a,int b){
edge[ecnt] = (Edge){b,fir[a]};
fir[a] = ecnt++;
}

int n;
namespace BCJ{
int f[MAXN];
void init(int n){
for(int i = 1;i<=n;i++){
f[i] = i;
}
}
int find(int x){
return f[x] == x ? x : f[x] = find(f[x]);
}
}
int X[MAXN],Y[MAXN],cnt;
bool vis[MAXN];
ll p[MAXN];

void init(){
scanf("%d",&n);
BCJ::init(n);
int a,b;
for(int i = 1;i<=n;i++){
scanf("%lld %d",&p[i],&b);
a = i;
int fa = BCJ::find(a),fb = BCJ::find(b);
if(fa == fb){
X[++cnt] = a, Y[cnt] = b;
}
else{
addedge(a,b),addedge(b,a);
BCJ::f[fa] = fb;
}
}
}

ll dp[MAXN][2];


void dfs(int nown,int fa){
dp[nown][0] = dp[nown][1] = 0;
vis[nown] = 1;
for(int nowe = fir[nown];nowe;nowe = edge[nowe].nex){
int v = edge[nowe].to;
if(v == fa) continue;
dfs(v,nown);
dp[nown][1] += dp[v][0];
dp[nown][0] += max(dp[v][0],dp[v][1]);
}
dp[nown][1] += p[nown];
}

void solve(){
ll ans = 0;
for(int i = 1;i<=cnt;i++){
ll tmp = 0;
dfs(X[i],0);
tmp = max(dp[X[i]][0],tmp);
dfs(Y[i],0);
tmp = max(dp[Y[i]][0],tmp);
ans += tmp;
}
for(int i = 1;i<=n;i++){
if(vis[i] == 0){
dfs(i,0);
ans += max(dp[i][0],dp[i][1]);
}
}
printf("%lld\n",ans);
}

int main(){
init();
solve();
return 0;
}

评论

Your browser is out-of-date!

Update your browser to view this website correctly. Update my browser now

×