「网络流 24 题」圆桌聚餐-网络最大流

假设有来自 $m$ 个不同单位的代表参加一次国际会议。每个单位的代表数分别为 $r_i$ 。会议餐厅共有 $n$ 张餐桌,每张餐桌可容纳 $c_i$ 个代表就餐。

为了使代表们充分交流,希望从同一个单位来的代表不在同一个餐桌就餐。

试设计一个算法,给出满足要求的代表就餐方案。

链接

LOJ6004

题解

我们可以把这个题转化成网络最大流解决。

每个单位一个点 $1$ ~ $m$ ,每个餐桌一个点 $m+1$ ~ $m+n$ ,源点向单位连边,餐桌向汇点连边,分别是对应容量;每个单位向每个餐桌连边,容量为 $1$ 。 如果最大流等于人数,就有解,否则无解。

输出方案我们考虑对每个单位的点,遍历出边,找出连向餐桌的有流量的边的另一段,对应餐桌的就是单位的每个人去的餐桌。

代码

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#include <bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;

const int MAXN = 500,MAXM = MAXN*MAXN*2;

struct Edge{
int from,to;
int cap,flow;
int nex;
}edge[MAXM];
int fir[MAXN],ecnt = 2;
void addedge(int a,int b,int c){
edge[ecnt] = (Edge){a,b,c,0,fir[a]},fir[a] = ecnt++;
edge[ecnt] = (Edge){b,a,0,0,fir[b]},fir[b] = ecnt++;
}

int dis[MAXN];
bool bfs(int s,int t){
static queue<int> q;
memset(dis,0,sizeof(dis));while(!q.empty()) q.pop();
dis[s] = 1,q.push(s);
while(!q.empty()){
int x = q.front();q.pop();
for(int e = fir[x];e;e = edge[e].nex){
int v = edge[e].to;
if(!dis[v] && edge[e].cap > edge[e].flow){
dis[v] = dis[x]+1;q.push(v);
}
}
}
return dis[t];
}

int dfs(int x,int t,int limit = inf){
if(limit == 0 || x == t) return limit;
int sumf = 0;
for(int e = fir[x];e;e = edge[e].nex){
int v = edge[e].to;
if(dis[v] == dis[x] + 1){
int f = dfs(v,t,min(limit,edge[e].cap - edge[e].flow));
if(f){
sumf += f,limit -= f;
edge[e].flow += f,edge[e^1].flow -= f;
}
if(limit == 0) break;
}
}
return sumf;
}

int dinic(int s,int t){
int ans = 0;
while(bfs(s,t)) ans += dfs(s,t);
return ans;
}

int n,m;
int sa[MAXN],sb[MAXN];
vector<int> ANS[MAXN];

void init(){
scanf("%d %d",&m,&n);
for(int i = 1;i<=m;i++) scanf("%d",&sb[i]);
for(int i = 1;i<=n;i++) scanf("%d",&sa[i]);
}

void solve(){
int S = n+m+1,T = S+1,sum = 0;
for(int i = 1;i<=m;i++) addedge(S,i,sb[i]),sum += sb[i];
for(int i = 1;i<=n;i++) addedge(m+i,T,sa[i]);
for(int i = 1;i<=m;i++){
for(int j = 1;j<=n;j++){
addedge(i,m+j,1);
}
}
int ans = dinic(S,T);
if(ans != sum) return (printf("0\n"),void(0));
printf("1\n");
for(int x = 1;x<=m;x++){
for(int e = fir[x];e;e = edge[e].nex){
int v = edge[e].to;
if(edge[e].flow == 1) printf("%d ",v-m);
}
printf("\n");
}
}

int main(){
init();
solve();
}

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