「网络流 24 题」方格取数-二分图最大独立集

在一个有 $m \times n$ 个方格的棋盘中,每个方格中有一个正整数。

现要从方格中取数,使任意 $2$ 个数所在方格没有公共边,且取出的数的总和最大。试设计一个满足要求的取数算法。

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LOJ 6007

题解

可以发现,这是一个二分图的带权最大独立集的问题。

对于这个问题,我们可以这么解决:

我们对于二分图的 $S$ 集和 $T$ 集,原点向 $S$ 集合上连边, $T$ 集合的所有点向汇点连边,边流量为点权;所有有约束的边直接连边,权值 $\inf$ ;答案就是边权和减去最大流的流量。

怎么证明?可以感性证明。

求出来的最小割一定是一个合法方案。我们割掉了哪条边,意味着我们付出了一个代价,也就是我们不选了这个物品。如果我们同时选了在二分图两侧有连边的节点(没有割边),那么我们这个图就不可能被割开(中间是无穷大),这个图就不是一个合法的最小割了。反向应当也是可以证明的。

所以这个算法的正确性是可以保障的。

代码

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#include <bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;

const int MAXN = 10000,MAXM = 50000;

struct Edge{
int from,to;
int cap,flow;
int nex;
}edge[MAXM];
int fir[MAXN],ecnt = 2;
void addedge(int a,int b,int c){
edge[ecnt] = (Edge){a,b,c,0,fir[a]},fir[a] = ecnt++;
edge[ecnt] = (Edge){b,a,0,0,fir[b]},fir[b] = ecnt++;
}

int dis[MAXN];
bool bfs(int s,int t){
static queue<int> q;
memset(dis,0,sizeof(dis));while(!q.empty()) q.pop();
dis[s] = 1;q.push(s);
while(!q.empty()){
int x = q.front();q.pop();
for(int e = fir[x];e;e = edge[e].nex){
int v = edge[e].to;
if(!dis[v] && edge[e].cap > edge[e].flow){
dis[v] = dis[x] + 1,q.push(v);
}
}
}
return dis[t];
}

int dfs(int x,int t,int limit = inf){
if(limit == 0 || x == t) return limit;
int sumf = 0;
for(int e = fir[x];e;e = edge[e].nex){
int v = edge[e].to;
if(dis[v] == dis[x] + 1){
int f = dfs(v,t,min(limit,edge[e].cap - edge[e].flow));
if(f){
sumf += f,limit -= f,edge[e].flow += f,edge[e^1].flow -= f;
if(limit == 0) break;
}
}
}
return sumf;
}

int dinic(int s,int t){
int ans = 0;
while(bfs(s,t)) ans += dfs(s,t);
return ans;
}

int m,n,val[110][110],sum;

int _hash(int x,int y){return (x-1)*n+y;}
bool judge(int x,int y){return (x+y)&1;}


int main(){
scanf("%d %d",&m,&n);
for(int i = 1;i<=m;i++) for(int j = 1;j<=n;j++)
scanf("%d",&val[i][j]),sum += val[i][j];
int S = n*m+1,T = S + 1;
for(int i = 1;i<=m;i++){
for(int j = 1;j<=n;j++){
if(judge(i,j)) addedge(S,_hash(i,j),val[i][j]);
else addedge(_hash(i,j),T,val[i][j]);
if(!judge(i,j)){
if(i > 1) addedge(_hash(i-1,j),_hash(i,j),inf);
if(i < m) addedge(_hash(i+1,j),_hash(i,j),inf);
if(j > 1) addedge(_hash(i,j-1),_hash(i,j),inf);
if(j < n) addedge(_hash(i,j+1),_hash(i,j),inf);
}
}
}
printf("%d\n",sum-dinic(S,T));
return 0;
}

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