「AHOI2013」联通图-线段树分治+并查集

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向连通图 $G$ 和若干个小集合 $S$,每个小集合包含 $c(1 \le c \le 4)$ 条边,对于每个集合,你需要确定将集合中的边删掉后改图是否保持联通。

集合间的询问相互独立。

链接

LuoguP5227

题解

感觉现在有一点能感受到线段树分治的精华了。

我们考虑到,维护一个无论啥玩意,一个图不断删去一条边之后我们不能知道这个图是否联通;但是如果我们用并查集维护联通性,那么我们可以在 $O(n\log n)$ 的时间内加边,同时知道这个图是否联通。

所以我们先将问题转化成类似加边的问题,实则其实是维护每条边的出现的区间。

我们发现,任意时刻的删边,都会使这个边由一个大区间的出现变成两个小区间的出现,因为总共的删边在 $O(k)$ 量级,所以说我们就会产生 $O(k)$ 个区间,然后我们可以把这些区间撒到线段树上,就有总共 $O(k \log k)$ 个操作。

所以我们需要一个可以撤销的并查集?我只会可持久化 ,但是时间复杂度需要 $O(n \log n)$ 一下,所以我们考虑想办法删除边即可。

我们按秩合并,然后记录一下改了哪些,每次撤销即可。

时间复杂度 :$O(k \log k \log n)$ 。

代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 210000;

struct Edge{int u,v;}e[MAXN];
int n,m,k,ans[MAXN];

namespace BCJ{
int f[MAXN],d[MAXN],r;
pair<int,int> stack[MAXN];int cnt;// 第一个存id,第二个存原来的秩
void init(int n){for(int i = 1;i<=n;i++) f[i] = i,d[i] = 1;}
int find(int x){return f[x] == x?x:find(f[x]);}
void un(int x,int y){
int fx = find(x),fy = find(y);
if(fx == fy) return;
r++;
if(d[fx] < d[fy]) swap(x,y),swap(fx,fy);
stack[++cnt] = make_pair(fy,d[fy]);
stack[++cnt] = make_pair(fx,d[fx]);
f[fy] = fx;
if(d[fy] == d[fx]) d[fx]+=1;
}
void undo(int lim){//
while(cnt > lim){
int i = cnt,x = stack[i].first,pred = stack[i].second;
if(f[x] != x) r--;
f[x] = x,d[x] = pred;cnt--;
}
}
}

namespace SegTree{
vector<int> v[MAXN<<2];
#define lson (x<<1)
#define rson (x<<1|1)
#define mid ((l+r)>>1)
void update(int x,int l,int r,int ql,int qr,int val){
if(ql > qr) return;
if(ql <= l && r <= qr) v[x].push_back(val);
else{
if(ql <= mid) update(lson,l,mid,ql,qr,val);
if(qr >= mid+1) update(rson,mid+1,r,ql,qr,val);
}
}
void solve(int x,int l,int r,int *ans){
int lim = BCJ::cnt;
for(int i = 0;i < int(v[x].size());i++) BCJ::un(e[v[x][i]].u,e[v[x][i]].v);
if(l == r) ans[l] = (BCJ::r == n-1);
else solve(lson,l,mid,ans),solve(rson,mid+1,r,ans);
BCJ::undo(lim);
}
}

void init(){
static int tim[MAXN];
scanf("%d %d",&n,&m);BCJ::init(n);
int a,b;
for(int i = 1;i<=m;i++) scanf("%d %d",&a,&b),e[i] = (Edge){a,b};
scanf("%d",&k);
for(int i = 1;i<=k;i++){
scanf("%d",&a);
for(int w = 1;w<=a;w++){
scanf("%d",&b);
SegTree::update(1,1,k,tim[b]+1,i-1,b);
tim[b] = i;
}
}
for(int i = 1;i<=m;i++) SegTree::update(1,1,k,tim[i]+1,k,i);
}

void solve(){
SegTree::solve(1,1,k,ans);
for(int i = 1;i<=k;i++) printf(ans[i]?"Connected\n":"Disconnected\n");
}

int main(){
init(),solve();
return 0;
}

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