「SDOI2014」数表-数论

有一张 $n \times m$ 的数表,其第 $i$ 行第 $j$ 列( $1 \le i \le n$, $1 \le j \le m$ )的数值为能同时整除 $i$ 和 $j$ 的所有自然数之和。给定 $a$ ,计算数表中不大于 $a$ 的数之和。

「SDOI2017」数字表格-数论

Doris 刚刚学习了 fibnacci 数列,用 $f[i]$ 表示数列的第 $i$ 项,那么: $f[0] = 0,f[1] = 1,f[n] = f[n - 1] + fn - 2$ 。

Doris 用老师的超级计算机生成了一个 $n \times m$ 的表格,第 $i$ 行第 $j$ 列的格子中的数是 $f[\gcd(i, j)]$,其中 $\gcd(i, j)$ 表示 $i$ 与 $j$ 的最大公约数。

Doris 的表格中共有 $n \times m$ 个数,她想知道这些数的乘积是多少。

这些数的乘积实在是太大了,所以 Doris 只想知道乘积对 $1000000007$ 取模后的结果。

「Luogu4449」于神之怒加强版-数学

给定 $n,m,k$ ,计算
$$
\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m {\gcd(i,j)}^k
$$
对 $1000000007$ 取模的结果

「CF542D」Superhero's Job - dp + 数论

我们定义
$$
J(x) = \sum_{d | x} [\gcd(x,\frac{x}{d}) = 1] d
$$

请你求出 $J(x) = A$ 有多少个 $x$ 满足条件。

「WC2011」最大XOR路径-dfs+线性基

考虑一个边权为非负整数的无向连通图,节点编号为 $1$ 到 $N$ ,试求出一条从 $1$ 号节点到 $N$ 号节点的路径,使得路径上经过的边的权值的 $\text{XOR}$ 和最大。

路径可以重复经过某些点或边,当一条边在路径中出现了多次时,其权值在计算 $\text{XOR}$ 和时也要被计算相应多的次数。

图中可能有重边或自环。

「JSOI2008」球形空间产生器-高斯消元

有一个球形空间产生器能够在 $n$ 维空间中产生一个坚硬的球体。现在,你被困在了这个 $n$ 维球体中,你只知道球面上 $n+1$ 个点的坐标,你需要以最快的速度确定这个 $n$ 维球体的球心坐标,以便于摧毁这个球形空间产生器。

提示:给出两个定义:

  1. 球心:到球面上任意一点距离都相等的点。
  2. 距离:设两个n为空间上的点A, B的坐标为$(a_1, a_2, \cdots , a_n)$ , $(b_1, b_2, \cdots , b_n)$,则 AB 的距离定义为:$dist = \sqrt{ \sum_{i=1}^{n}(a_i - b_i)^2 }$

「SDOI2008」递归数列-矩阵快速幂

一个由自然数组成的数列按下式定义:

对于 $i \leq k$ :$a_i = b_i$

对于 $i > k$ : $a_i = c_1a_{i-1} + c_2a_{i-2} + … + c_ka_{i-k}$

其中 $b_j$ 和 $c_j$ ( $1 \leq j \leq k$)是给定的自然数。写一个程序,给定自然数 $m \leq n$, 计算 $a_m + a_{m+1} + a_{m+2} + … + a_n$, 并输出它除以给定自然数 $p$ 的余数的值。

对于 100% 的测试数据:

$1 \leq k \leq 15,1 \leq m \leq n \leq 10^{18},0 \le b_1, b_2,… b_k, c_1, c_2,…, c_k \leq 10^9,1 \leq p \leq 10^8$

「CQOI2007」余数求和-数论+分块

给出正整数 $n$ 和 $k$ ,计算
$$
\sum_{i=1}^{n} k \bmod i
$$

「CQOI2018」破解D-H协议-BSGS算法

简单题意:

给定一个质数 $P$ 和其原根 $g$,给定 $X$ 求 $g^x \equiv X \pmod p$ 的非负整数解 $x$。

「SDOI2008」仪仗队-欧拉函数

作为体育委员, $C$ 君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的 $N \times N$ 的方阵,为了保证队伍在行进中整齐划一, $C$ 君会跟在仪仗队的左后方,根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。

现在, $C$ 君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

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