「CF68D」Half-decay tree-期望瞎搞题

定义一个完全二叉树树高为根节点到叶子节点经过的边数。

给定一个树高为 $h(1 \le h \le 30)$ 的完全二叉树,其中第 $x$ 个节点的左儿子为第 $2x$ 个节点,右儿子为第 $2x+1$ 个节点。

现在有 $q(1 \le q \le 10^{5})$ 个,分为两种操作:

  1. add v e ( $1 \le v \le 2^{h+1}-1,1 \le e \le 10^4$ )表示给第 $v$ 个节点的权值加 $e$
  2. decay 操作。我们在这个二叉树里面以等概率选择一个叶子节点,将这个叶子节点到根的路径上所有的边都删去。在删除后,树会形成若干个联通块,我们定义某个联通块的的权值为这个联通块内所有节点的权值之和。我们定义删除后的树的权值为形成的所有联通块的权值的最大值。请你求出这个值的期望。每次删除后会恢复所有删除的边。

「SHOI2014」概率充电器-树形dp

著名的电子产品品牌 SHOI 刚刚发布了引领世界潮流的下一代电子产品—— 概率充电器:

“采用全新纳米级加工技术,实现元件与导线能否通电完全由真随机数决定!SHOI 概率充电器,您生活不可或缺的必需品!能充上电吗?现在就试试看吧!”

SHOI 概率充电器由 $n-1$ 条导线连通了 $n$ 个充电元件。进行充电时,每条导 线是否可以导电以概率决定,每一个充电元件自身是否直接进行充电也由概率 决定。随后电能可以从直接充电的元件经过通电的导线使得其他充电元件进行间接充电。

作为 SHOI 公司的忠实客户,你无法抑制自己购买 SHOI 产品的冲动。在排 了一个星期的长队之后终于入手了最新型号的 SHOI 概率充电器。你迫不及待地将 SHOI 概率充电器插入电源——这时你突然想知道,进入充电状态的元件个数的期望是多少呢?

「HNOI2011」XOR和路径-高斯消元

给定一个无向连通图,其节点编号为 $1$ 到 $N$,其边的权值为非负整数。试求出一条从 $1$ 号节点到 $N$ 号节点的路径,使得该路径上经过的边的权值的 “ $\text{XOR}$ 和” 最大。该路径可以重复经过某些节点或边,当一条边在路径中出现多次时,其权值在计算 “$\text{XOR}$ 和” 时也要被重复计算相应多的次数。

直接求解上述问题比较困难,于是你决定使用非完美算法。具体来说,从 $1$ 号节点开始,以相等的概率,随机选择与当前节点相关联的某条边,并沿这条边走到下一个节点,重复这个过程,直到走到 $N$ 号节点为止,便得到一条从 $1$ 号节点到 $N$ 号节点的路径。显然得到每条这样的路径的概率是不同的,并且每条这样的路径的 “ $\text{XOR}$ 和” 也不一样。现在请你求出该算法得到的路径的 “ $\text{XOR}$ 和” 的期望值。

「HNOI2013」游走-期望方程

一个无向连通图,顶点从 $1$ 编号到 $N$ ,边从 $1$ 编号到 $M$ 。 小 Z 在该图上进行随机游走,初始时小 Z 在 $1$ 号顶点,每一步小 Z 以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边,沿着这条边走到下一个顶点,获得等于这条边的编号的分数。当小 Z 到达 N 号顶点时游走结束,总分为所有获得的分数之和。 现在,请你对这 $M$ 条边进行编号,使得小 Z 获得的总分的期望值最小。

「SHOI2012」随机树-期望dp

题面以图片显示,请点击“阅读全文”查看。

「HAOI2012」高速公路-期望+线段树

Y901 高速公路是一条由 $N-1$ 段路以及 $N$ 个收费站组成的东西向的链,我们按照由西向东的顺序将收费站依次编号为 $1 \sim N$ ,从收费站 $i$ 行驶到 $i+1$ (或从 $i+1$ 行驶到 $i$ )需要收取 $V_i$ 的费用。高速路刚建成时所有的路段都是免费的。

政府部门根据实际情况,会不定期地对连续路段的收费标准进行调整,根据政策涨价或降价。

求对于给定的 $l,r(l < r)$ ,在第 $l$ 个到第 $r$ 个收费站里等概率随机取出两个不同的收费站 $a$ 和 $b$ ,那么从 $a$ 行驶到 $b$ 将期望花费多少费用呢?

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